有限数学示例

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

解题步骤 1

将 $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $8 x^{2} - 2 x + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

解题步骤 2.2

将 $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $4 x^{2} - x + 4$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将 $a = 4$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.5.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.6.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 63$ 重写为 $- 1 (63)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (63)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.7

将 $63$ 重写为 $3^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.7.1.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

集合符号：

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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